Maximum Principle
$\Omega$ bounded open in $\mathbb{R}^n$, $u\in C\left(\overline{\Omega}\right)\cap C^2(\Omega)$ harmonic in $\Omega$. Then $\displaystyle\max_\Omega u=\max_{\partial\Omega}u$,
Proof: let $\varepsilon>0$, and let $u_\varepsilon(x):=u(x)+\varepsilon|x|^2$. Then $\Delta u_\varepsilon=2\varepsilon n>0$. So $\displaystyle\max_\Omega u_\varepsilon=\max_{\partial\Omega}u_\varepsilon$, and the claim follows if we let $\varepsilon\rightarrow 0$.
Mean value principle
Let $B_r$ be the open ball of radius $r$ in $\mathbb{R}^n$, and let $u\in C^2\left(\overline{B_r}\right)$ be harmonic in $B_r$. Then
$$
u(0)=\mbox{mean of }u\mbox{ over }\partial B_r.
$$
Proof: set $\Theta u:=u(\Theta^{-1})$ for $\Theta\in O(n)$, and
$$
Au(x):=\mbox{mean of the function }\Theta\in O(n)\mapsto \Theta u(x)\mbox{ over }O(n),\qquad x\in \overline{B_r}.
$$
Then $\Delta Au=0$ since $\Delta$ is $O(n)$-invariant, and $Au(x)=\mbox{mean of }u\mbox{ over }\partial B_r$ for $|x|=r$. So $Au$ is constant by the maximum principle. But $Au(0)=u(0)$.
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Diario dell'esperienza all'estero presso il MIT
venerdì 7 marzo 2014
Geometry of (contact) manifolds
foliations; distributions; integrability (Frobenius theorem); contact structures
some symplectic linear algebra: symplectic forms and symplectic vector spaces; $\omega\in\Lambda^2(V^{2n})^\ast$ is symplectic iff $\omega^n\neq 0$; isotropic and Lagrangian subspaces of a symplectic vector space
coorientability of hyperplane distributions: if $\xi^{n-1}\subset TM^n$, then $\xi=\ker\alpha$ for some $\alpha\in\Omega^1M$ iff the line bundle $TM/\xi$ is orientable
$\alpha\in\Omega M^{2n+1}$ everywhere non-zero. Then $\ker\alpha$ is contact iff $\alpha(d\alpha)^n$ is a volume form
contact forms of coorientable contact structures
Cartan's magic formula: $\mathcal{L}_X=X\lrcorner d+d X\lrcorner$
the standard contact form on $(\mathbb{R}^{2n+1},x_1,y_1,\dots,x_n,y_n,z)$: $\alpha_{std}=dz-\sum y_idx_i$
contactomorphisms, contact isotopies, contact vector fields; "contact vector fields are the tangent vectors of the group of contactomorphisms at the identity"; contact vector fields on $(M,\xi)$ and sections of $TM/\xi$ "are the same" (as vector spaces of course); isotopy extension; if $(M,\ker\alpha)$ is contact, then $\alpha$ induces an iso between $TM/\xi$ and the trivial line bundle, and hence between contact vector fields and functions. The Reeb vector field of $\alpha$ is then the contact vector field corresponding to $1$
contact conditions in terms of contact forms: $\phi:(M,\ker\alpha)\rightarrow (M,\ker\alpha)$ is contact iff $\phi^\ast\alpha=f\alpha$ for some everywhere non zero $f\in C^\infty M$; $X\in\Gamma TM$ is contact iff $\mathcal{L}_X\alpha\in C^\infty(M)\alpha$
Gray's stability theorem ("contact structures have no deformation theory", or "the space of contact structures modulo diffeomorphisms isotopic to the identity is discrete"); Darboux theorem ($(\mathbb{R}^{2n+1},\alpha_{std})$ is a universal local model, contact manifolds have no local invariants)
some symplectic linear algebra: symplectic forms and symplectic vector spaces; $\omega\in\Lambda^2(V^{2n})^\ast$ is symplectic iff $\omega^n\neq 0$; isotropic and Lagrangian subspaces of a symplectic vector space
coorientability of hyperplane distributions: if $\xi^{n-1}\subset TM^n$, then $\xi=\ker\alpha$ for some $\alpha\in\Omega^1M$ iff the line bundle $TM/\xi$ is orientable
$\alpha\in\Omega M^{2n+1}$ everywhere non-zero. Then $\ker\alpha$ is contact iff $\alpha(d\alpha)^n$ is a volume form
contact forms of coorientable contact structures
Cartan's magic formula: $\mathcal{L}_X=X\lrcorner d+d X\lrcorner$
the standard contact form on $(\mathbb{R}^{2n+1},x_1,y_1,\dots,x_n,y_n,z)$: $\alpha_{std}=dz-\sum y_idx_i$
contactomorphisms, contact isotopies, contact vector fields; "contact vector fields are the tangent vectors of the group of contactomorphisms at the identity"; contact vector fields on $(M,\xi)$ and sections of $TM/\xi$ "are the same" (as vector spaces of course); isotopy extension; if $(M,\ker\alpha)$ is contact, then $\alpha$ induces an iso between $TM/\xi$ and the trivial line bundle, and hence between contact vector fields and functions. The Reeb vector field of $\alpha$ is then the contact vector field corresponding to $1$
contact conditions in terms of contact forms: $\phi:(M,\ker\alpha)\rightarrow (M,\ker\alpha)$ is contact iff $\phi^\ast\alpha=f\alpha$ for some everywhere non zero $f\in C^\infty M$; $X\in\Gamma TM$ is contact iff $\mathcal{L}_X\alpha\in C^\infty(M)\alpha$
Gray's stability theorem ("contact structures have no deformation theory", or "the space of contact structures modulo diffeomorphisms isotopic to the identity is discrete"); Darboux theorem ($(\mathbb{R}^{2n+1},\alpha_{std})$ is a universal local model, contact manifolds have no local invariants)
Algebraic topology
cats, functors (morphisms between cats), natural transformations (morphisms between functors), adjoint pairs, limits (product, pull-back, projective limit), colimits (push-out, coproduct)
k-spaces, k-ifications, weak Hausdorff spaces, compactly generated spaces
the pointed cat; wedges, smashes, suspensions; homotopy groups
fundamental groupoid and its action on homotopy groups; weak equivalences; relative homotopy groups and the long exact sequence of a pair
cofibrations (homotopy extension property, neighborhood deformation retract pairs); mapping cones and mapping cylinders; cofibers; cofiber sequence
fibrations (homotopy lifting property); homotopy fiber; fiber sequence; Hopf fibration; Hopf invariant; application to the classification of real division algebras
compression lemma; cellular approximation; Whitehead theorem
k-spaces, k-ifications, weak Hausdorff spaces, compactly generated spaces
the pointed cat; wedges, smashes, suspensions; homotopy groups
fundamental groupoid and its action on homotopy groups; weak equivalences; relative homotopy groups and the long exact sequence of a pair
cofibrations (homotopy extension property, neighborhood deformation retract pairs); mapping cones and mapping cylinders; cofibers; cofiber sequence
fibrations (homotopy lifting property); homotopy fiber; fiber sequence; Hopf fibration; Hopf invariant; application to the classification of real division algebras
compression lemma; cellular approximation; Whitehead theorem
Topics in several complex variables
Multidimensional Cauchy integral formula, uniqueness of analytic continuation, maximum modulus principle.
Hartog's theorem. Inhomogeneous Cauchy-Riemann equations. Holomorphic implicit and inverse function theorems.
De Rham bicomplex, Dolbeault complex, holomorphic de Rham complex of an open subset of $\mathbb{C}^n$. The Dolbeault complex is acyclic for polydiscs. Strict pluri-sub-harmonicity and pseudoconvexity.
Complex manifolds. $\mathbb{C}P^n$. Affine and projective non-singular algebraic varieties.
$X$ complex compact implies $\mathcal{O}(X)=\mathbb{C}$, so...
... presheaves, sheaves, cohomology of sheaves. Sheaf-theoretic proof of de Rham theorem.
Hartog's theorem. Inhomogeneous Cauchy-Riemann equations. Holomorphic implicit and inverse function theorems.
De Rham bicomplex, Dolbeault complex, holomorphic de Rham complex of an open subset of $\mathbb{C}^n$. The Dolbeault complex is acyclic for polydiscs. Strict pluri-sub-harmonicity and pseudoconvexity.
Complex manifolds. $\mathbb{C}P^n$. Affine and projective non-singular algebraic varieties.
$X$ complex compact implies $\mathcal{O}(X)=\mathbb{C}$, so...
... presheaves, sheaves, cohomology of sheaves. Sheaf-theoretic proof of de Rham theorem.
mercoledì 5 marzo 2014
Combinatorics seminar: From combinatorics to motives: cutting and pasting in algebraic geometry
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Seminar in Theoretical Computer Science - Reading assignment
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Credo che questo tipo di corsi, che qui al MIT sono previsti già a livello undergraduate, siano molto utili soprattutto per coloro i quali intendono rimanere nell'ambito accademico, in quanto affiancano alla comprensione dei contenuti un momento in cui ci si occupa dell'aspetto espositivo degli stessi.
martedì 4 marzo 2014
Coomologia di $\mathrm{Cone}(i)$!
A seguire, un esercizio di topologia algebrica cui ho lavorato in collaborazione con Vitantonio.
Esercizio. Sia $i: A \hookrightarrow X$ una cofibrazione. Si provi che la mappa canonica $\mathrm{Cone}(i) \rightarrow X/A$ è una equivalenza omotopica ($\mathrm{Cone}(i)$ denota l'unreduced mapping cone) e dedurne che esiste un isomorfismo $H^\ast(X,A)\cong \widetilde H^\ast(X/A)$.
Svolgimento. La mappa canonica $h:\mathrm{Cone}(i) \rightarrow X/A$ è definita come la mappa quoziente $\mathrm{Cone}(i)=X\sqcup \mathrm{Cone}(A)\rightarrow X\sqcup \mathrm{Cone}(A)/\mathrm{Cone}(A)$ composta con l'omeomorfismo $\mathrm{Cone}(i)=X\sqcup \mathrm{Cone}(A)\rightarrow X/A$.
Il mapping cone dell'inclusione è composto da tre tipi di punti: il vertice $v=[A\times\{1\}]$, il resto del cono su $A$ $\{(a,t)\,|\,0\leq t < 1 \}$, dove $(a,0) \equiv a \in A \subset X$, e i punti di $X$ stesso, identificati con i punti di $X \times \{0\}$.
Si definisca $f:A \times I \cup X \times \{0\}\rightarrow \mathrm{Cone}(i)$ come la mappa che collassa $A \times \{1\}$ ad un solo punto. Per definizione di cofibrazione (si veda un post precedente), i seguenti due diagrammi commutativi sono equivalenti: \[ \begin{array}[c]{cccp{2cm}ccc} A& \rightarrow& \underline{\mathrm{Map}}(I,\mathrm{Cone}(i))&& A\times I \sqcup X \times {0}& \stackrel{f}{\rightarrow}& \mathrm{Cone}(i)\\ \scriptstyle{i}\downarrow&\nearrow&\downarrow &&\downarrow&\nearrow&\\ X& \rightarrow & \mathrm{Cone}(i) && X \times I \end{array} \] pertanto, esiste la mappa $\overline f:X \times I\rightarrow \mathrm{Cone}(i)$, ed essa è tale che $\overline f(a,1)=v$, $\overline f(a,t)=(a,t)$, $\overline f(x,0)=x$. Si consideri ora $H_t=\overline f\big|_{X\times \{t\}}$. Poiché $H_1(A)=\{v\}$, $H_1$ si può riguardare come composizione della mappa quoziente $j:X \rightarrow X/A$ e dell'applicazione $g:X/A\rightarrow \mathrm{Cone}(i)$, ovvero $H_1=g\circ j$. Si osservi che $g$ risulta essere continua per definizione di topologia quoziente. Proviamo che $g$ è una equivalenza omotopica, avente $h$ come inversa.
Si consideri innanzitutto l'omotopia $h \circ H_t:X \rightarrow X/A$. Per ogni $t$, essa mappa $A$ nel punto $[A]$ del quoziente. Allora $h \circ H_t$ si fattorizza per dare l'omotopia $h\circ g \simeq [h \circ H_1] \simeq [h \circ H_0] = [j] = 1$.
Viceversa, si consideri $W=(X \times I)/(A \times \{1\})$ e le mappe in figura.
L'applicazione $\overline f'$ è indotta da $\overline f$, mentre $k$ è l'applicazione che mappa $X/A$ nella faccia superiore di $W$, ovvero $k(X/A)=(X\times \{1\}/(A \times \{1\})$. Risulta che
\[ \begin{array}{l} \overline f' \circ l=\mathrm{id}\,,\\ \pi \circ k = \mathrm{id}\,,\\ k \circ \pi \simeq 1\,,\\ \overline f' \circ k=g\,,\\ \pi \circ l =h\,. \end{array} \] Allora $g\circ h=\overline f' \circ (k\circ \pi)\circ l\simeq \overline f' \circ l=1$, come volevamo. Possiamo pertanto affermare che $H^\ast(\mathrm{Cone}(i))\cong H^\ast(X/A)$, da cui $\widetilde H^\ast(\mathrm{Cone}(i))\cong \widetilde H^\ast(X/A)$.
Resta da provare che $H^\ast(\mathrm{Cone}(i))\cong H^\ast(X,A)$. Per far questo utlizzeremo l'assioma di escissione e costruiremo una retrazione di coppie.
Innanzitutto, utilizzando l'assioma di escissione in corrispondenza della terna $[A \times \{1\}]=v \subset \mathrm{int}(\mathrm{Cone}(A))=\mathrm{Cone}(A)\smallsetminus A \subset \mathrm{Cone}(i)$, si ottiene che l'inclusione di coppie
\[ (\mathrm{Cone}(i)\smallsetminus\{v\},\mathrm{Cone}(A)\smallsetminus\{v\}) \hookrightarrow (\mathrm{Cone}(i),\mathrm{Cone}(A)) \] induce un isomorfismo tra i gruppi di omologia e quindi di coomologia:
\[ H^\ast(\mathrm{Cone}(i),\mathrm{Cone}(A))\cong H^\ast(\mathrm{Cone}(i)\smallsetminus\{v\}, \mathrm{Cone}(A)\smallsetminus\{v\}) \] Ora, si osservi che, il Lemma del Serpente garantisce l'esistenza della Sequenza Esatta Lunga per la coomologia della coppia $(\mathrm{Cone}(i),\mathrm{Cone}(A))$:
\[ \cdots\rightarrow H^{n-1}(\mathrm{Cone}(A))\rightarrow H^n(\mathrm{Cone}(i),\mathrm{Cone}(A))\rightarrow H^n(\mathrm{Cone}(i))\rightarrow H^n(\mathrm{Cone}(A))\rightarrow \cdots \] Ma $\mathrm{Cone}(A)=(A\times I)/(A\times \{1\})$ è contraibile (sul vertice $v=[A\times\{1\}]$), pertanto otteniamo:
\[ \cdots\rightarrow 0\rightarrow H^n(\mathrm{Cone}(i),\mathrm{Cone}(A))\rightarrow H^n(\mathrm{Cone}(i))\rightarrow 0\rightarrow \cdots \] ovvero $H^\ast(\mathrm{Cone}(i),\mathrm{Cone}(A))\cong H^\ast(\mathrm{Cone}(i))$.
Inoltre, si osservi che $(X,A)$ è un retratto deformativo di $(\mathrm{Cone}(i)\smallsetminus\{v\}, \mathrm{Cone}(A)\smallsetminus\{v\})$, infatti, ricordando che $\mathrm{Cone}(i)=X\sqcup \mathrm{Cone}(A)$, la retrazione deformativa di coppie $r:(\mathrm{Cone}(i)\smallsetminus\{v\}, \mathrm{Cone}(A)\smallsetminus\{v\})\rightarrow (X,A)$ può essere costruita in modo che
\[ \begin{array}{ll} r(a,t)= (a,0) &\text{per ogni } (a,t) \in A \times [0,1)=\mathrm{Cone}(A)\smallsetminus\{v\}\,, \\ r(x)=x &\text{per ogni } x \in \mathrm{Cone}(i) \smallsetminus \mathrm{Cone}(A) = X\,. \end{array} \] Allora risulta che $H^\ast(\mathrm{Cone}(i)\smallsetminus\{v\}, \mathrm{Cone}(A)\smallsetminus\{v\})\cong H^\ast(X,A)$, da cui $H^\ast(X,A)\cong H^\ast(\mathrm{Cone}(i))\cong \widetilde H^\ast(\mathrm{Cone}(i))$.
Per quanto provato in precedenza, concludiamo che $H^\ast(X,A)\cong \widetilde H^\ast(X/A)$.
References: Glen E. Bredon , Topology and Geometry, Springer (1993).
Esercizio. Sia $i: A \hookrightarrow X$ una cofibrazione. Si provi che la mappa canonica $\mathrm{Cone}(i) \rightarrow X/A$ è una equivalenza omotopica ($\mathrm{Cone}(i)$ denota l'unreduced mapping cone) e dedurne che esiste un isomorfismo $H^\ast(X,A)\cong \widetilde H^\ast(X/A)$.
Svolgimento. La mappa canonica $h:\mathrm{Cone}(i) \rightarrow X/A$ è definita come la mappa quoziente $\mathrm{Cone}(i)=X\sqcup \mathrm{Cone}(A)\rightarrow X\sqcup \mathrm{Cone}(A)/\mathrm{Cone}(A)$ composta con l'omeomorfismo $\mathrm{Cone}(i)=X\sqcup \mathrm{Cone}(A)\rightarrow X/A$.
Il mapping cone dell'inclusione è composto da tre tipi di punti: il vertice $v=[A\times\{1\}]$, il resto del cono su $A$ $\{(a,t)\,|\,0\leq t < 1 \}$, dove $(a,0) \equiv a \in A \subset X$, e i punti di $X$ stesso, identificati con i punti di $X \times \{0\}$.
Si definisca $f:A \times I \cup X \times \{0\}\rightarrow \mathrm{Cone}(i)$ come la mappa che collassa $A \times \{1\}$ ad un solo punto. Per definizione di cofibrazione (si veda un post precedente), i seguenti due diagrammi commutativi sono equivalenti: \[ \begin{array}[c]{cccp{2cm}ccc} A& \rightarrow& \underline{\mathrm{Map}}(I,\mathrm{Cone}(i))&& A\times I \sqcup X \times {0}& \stackrel{f}{\rightarrow}& \mathrm{Cone}(i)\\ \scriptstyle{i}\downarrow&\nearrow&\downarrow &&\downarrow&\nearrow&\\ X& \rightarrow & \mathrm{Cone}(i) && X \times I \end{array} \] pertanto, esiste la mappa $\overline f:X \times I\rightarrow \mathrm{Cone}(i)$, ed essa è tale che $\overline f(a,1)=v$, $\overline f(a,t)=(a,t)$, $\overline f(x,0)=x$. Si consideri ora $H_t=\overline f\big|_{X\times \{t\}}$. Poiché $H_1(A)=\{v\}$, $H_1$ si può riguardare come composizione della mappa quoziente $j:X \rightarrow X/A$ e dell'applicazione $g:X/A\rightarrow \mathrm{Cone}(i)$, ovvero $H_1=g\circ j$. Si osservi che $g$ risulta essere continua per definizione di topologia quoziente. Proviamo che $g$ è una equivalenza omotopica, avente $h$ come inversa.
Si consideri innanzitutto l'omotopia $h \circ H_t:X \rightarrow X/A$. Per ogni $t$, essa mappa $A$ nel punto $[A]$ del quoziente. Allora $h \circ H_t$ si fattorizza per dare l'omotopia $h\circ g \simeq [h \circ H_1] \simeq [h \circ H_0] = [j] = 1$.
Viceversa, si consideri $W=(X \times I)/(A \times \{1\})$ e le mappe in figura.
\[ \begin{array}{l} \overline f' \circ l=\mathrm{id}\,,\\ \pi \circ k = \mathrm{id}\,,\\ k \circ \pi \simeq 1\,,\\ \overline f' \circ k=g\,,\\ \pi \circ l =h\,. \end{array} \] Allora $g\circ h=\overline f' \circ (k\circ \pi)\circ l\simeq \overline f' \circ l=1$, come volevamo. Possiamo pertanto affermare che $H^\ast(\mathrm{Cone}(i))\cong H^\ast(X/A)$, da cui $\widetilde H^\ast(\mathrm{Cone}(i))\cong \widetilde H^\ast(X/A)$.
Resta da provare che $H^\ast(\mathrm{Cone}(i))\cong H^\ast(X,A)$. Per far questo utlizzeremo l'assioma di escissione e costruiremo una retrazione di coppie.
Innanzitutto, utilizzando l'assioma di escissione in corrispondenza della terna $[A \times \{1\}]=v \subset \mathrm{int}(\mathrm{Cone}(A))=\mathrm{Cone}(A)\smallsetminus A \subset \mathrm{Cone}(i)$, si ottiene che l'inclusione di coppie
\[ (\mathrm{Cone}(i)\smallsetminus\{v\},\mathrm{Cone}(A)\smallsetminus\{v\}) \hookrightarrow (\mathrm{Cone}(i),\mathrm{Cone}(A)) \] induce un isomorfismo tra i gruppi di omologia e quindi di coomologia:
\[ H^\ast(\mathrm{Cone}(i),\mathrm{Cone}(A))\cong H^\ast(\mathrm{Cone}(i)\smallsetminus\{v\}, \mathrm{Cone}(A)\smallsetminus\{v\}) \] Ora, si osservi che, il Lemma del Serpente garantisce l'esistenza della Sequenza Esatta Lunga per la coomologia della coppia $(\mathrm{Cone}(i),\mathrm{Cone}(A))$:
\[ \cdots\rightarrow H^{n-1}(\mathrm{Cone}(A))\rightarrow H^n(\mathrm{Cone}(i),\mathrm{Cone}(A))\rightarrow H^n(\mathrm{Cone}(i))\rightarrow H^n(\mathrm{Cone}(A))\rightarrow \cdots \] Ma $\mathrm{Cone}(A)=(A\times I)/(A\times \{1\})$ è contraibile (sul vertice $v=[A\times\{1\}]$), pertanto otteniamo:
\[ \cdots\rightarrow 0\rightarrow H^n(\mathrm{Cone}(i),\mathrm{Cone}(A))\rightarrow H^n(\mathrm{Cone}(i))\rightarrow 0\rightarrow \cdots \] ovvero $H^\ast(\mathrm{Cone}(i),\mathrm{Cone}(A))\cong H^\ast(\mathrm{Cone}(i))$.
Inoltre, si osservi che $(X,A)$ è un retratto deformativo di $(\mathrm{Cone}(i)\smallsetminus\{v\}, \mathrm{Cone}(A)\smallsetminus\{v\})$, infatti, ricordando che $\mathrm{Cone}(i)=X\sqcup \mathrm{Cone}(A)$, la retrazione deformativa di coppie $r:(\mathrm{Cone}(i)\smallsetminus\{v\}, \mathrm{Cone}(A)\smallsetminus\{v\})\rightarrow (X,A)$ può essere costruita in modo che
\[ \begin{array}{ll} r(a,t)= (a,0) &\text{per ogni } (a,t) \in A \times [0,1)=\mathrm{Cone}(A)\smallsetminus\{v\}\,, \\ r(x)=x &\text{per ogni } x \in \mathrm{Cone}(i) \smallsetminus \mathrm{Cone}(A) = X\,. \end{array} \] Allora risulta che $H^\ast(\mathrm{Cone}(i)\smallsetminus\{v\}, \mathrm{Cone}(A)\smallsetminus\{v\})\cong H^\ast(X,A)$, da cui $H^\ast(X,A)\cong H^\ast(\mathrm{Cone}(i))\cong \widetilde H^\ast(\mathrm{Cone}(i))$.
Per quanto provato in precedenza, concludiamo che $H^\ast(X,A)\cong \widetilde H^\ast(X/A)$.
References: