The late late problem set

Ancora un esercizio di topologia algebrica!

Definizione. Si dice che l'applicazione $i: A \rightarrow X$ è una cofibrazione se verifica la proprietà di estensione dell'omotopia (Homotopy Extension Property - HEP): per ogni $f:X\rightarrow Y$ e $H:A \rightarrow \mathrm{Map}(I,Y)$, $I=[0,1]$, esiste $\overline H:X \rightarrow \mathrm{Map}(I,Y)$ tale che il seguente diagramma è commutativo: \[ \begin{array}[c]{ccc} A&\stackrel{H}{\rightarrow}&\underline{\mathrm{Map}}(I,Y)\\ \downarrow\scriptstyle{i}&\stackrel{\overline H}{\nearrow}&\downarrow\scriptstyle{\mathrm{ev}_0}\\ X&\stackrel{f}{\rightarrow}&Y \end{array} \]
($\underline{\mathrm{Map}}(I,Y)$ denota lo spazio (topologico) delle applicazione da $I$ in $Y$)
Equivalentemente, per ogni $f:X\rightarrow Y$ e ogni omotopia $H:f\big|_A \simeq g$, esistono $\overline g:X\rightarrow Y$ e $\overline H:f \simeq \overline g$ tale che $\overline H$ sia estensione di $H$.

Esercizio. Provare che se $A \hookrightarrow X$ è una cofibrazione, allora $A\times Y \hookrightarrow X\times Y$ è una cofibrazione

Svolgimento.  Si considerino $f:X\times Y\rightarrow Z$ e l'omotopia $H:A\times Y \rightarrow \underline{\mathrm{Map}}(I,Z)$ tali che il seguente diagramma commuti: \[ \begin{array}[c]{ccc} A\times Y&\rightarrow&\underline{\mathrm{Map}}(I,Z)\\ \downarrow& &\downarrow\\ X\times Y&\rightarrow &Z \end{array} \] Ciò è equivalente a dire che il seguente diagramma è commutativo: \[ \begin{array}[c]{ccc} A&\rightarrow&\underline{\mathrm{Map}}(I,\underline{\mathrm{Map}}(Y,Z))\\ \scriptstyle{i}\downarrow& &\downarrow\\ X&\rightarrow &\underline{\mathrm{Map}}(Y,Z) \end{array} \] Applico l'ipotesi che $A \hookrightarrow X$ è una cofibrazione, quindi esiste $\overline H : X\rightarrow \underline{\mathrm{Map}}(I,\underline{\mathrm{Map}}(Y,Z))$ tale che: \[ \begin{array}[c]{ccc} A&\rightarrow&\underline{\mathrm{Map}}(I,\underline{\mathrm{Map}}(Y,Z))\\ \scriptstyle{i}\downarrow&\nearrow &\downarrow\\ X&\rightarrow &\underline{\mathrm{Map}}(Y,Z) \end{array} \] L'esistenza di $\overline H$ è equivalente all'esistenza di $\overline H: X \times Y \rightarrow \underline{\mathrm{Map}}(I,Z)$ che rende commutativo: \[ \begin{array}[c]{ccc} A\times Y&\rightarrow&\underline{\mathrm{Map}}(I,Z)\\ \downarrow&\nearrow &\downarrow\\ X\times Y&\rightarrow &Z \end{array} \] Segue l'asserto. $\square$